Как просто вывести формулу Байеса
Две окружности · Тучи · Зонтик
Нарисуй две окружности
Окружность слева будет гипотезой, справа - наблюдением.
Для примера: наблюдение = тучи на небе. Гипотеза = сегодня будет дождь.
Пусть вся рамка - это все дни года, её площадь = 1. Тогда площадь любого куска = его вероятность.
Посмотри на пересечение кругов. Давай прикинем его площадь.
Сначала со стороны левого круга (H). Весь круг H - это P(H). Какая его доля попала в пересечение? Та, где при дожде на небе ещё и тучи, то есть P(E | H). Это не площадь, а доля: какая часть круга H покраснела. Значит, площадь пересечения = P(H) · P(E | H).
Почему умножаем, а не складываем?
Здесь умножаются не две площади, а площадь на долю. P(E | H) - это не кусок картинки, а отношение: красное ÷ весь круг H. Взять долю от чего-то - это умножить: половина от 200 дождливых дней = 200 · 12 = 100 дней. На числах Питера: из 200 дождливых дней с тучами 99%, то есть 200 · 0,99 = 198 дней.
Сложение здесь дало бы ерунду. Для Питера 0,55 + 0,99 = 1,54: кусок больше всего года, а он внутри рамки площадью 1. Умножение на долю (она не больше 1) всегда даёт кусок не больше самого круга H, как и должно быть.
Складывать можно куски, которые не пересекаются. Например, круг H = дождь с тучами + дождь без туч: P(H) = P(H и E) + P(H и не E).
Теперь со стороны правого круга (E). Весь круг E - это P(E), а в пересечение попала доля P(H | E): те дни с тучами, когда всё-таки пошёл дождь. Тоже доля, только теперь от круга E. Площадь пересечения = P(E) · P(H | E).
Со стороны H
круг H = P(H), в пересечении его доля P(E | H)
P(H) · P(E | H)
Со стороны E
круг E = P(E), в пересечении его доля P(H | E)
P(E) · P(H | E)
Площадь та же, значит, можно приравнять и получить
P(E) · P(H | E) = P(H) · P(E | H)
Это уже и есть формула Байеса, только в не очень удобном виде.
А теперь приведём формулу в полезный вид.
Нас интересует вероятность дождя, если на небе собрались тучи. То есть нам нужен P(H E).
Поделим на P(E), получим
P(H E) = P(H) · P(E H)P(E)
Вот и готов каноничный вид формулы Байеса.
Пример с дождём в Питере
Посмотрим, что там с дождём. P(H) в формуле - вероятность дождя в принципе. В Питере дождь 200 дней из 365 в год, то есть P(H) = 200365 ~ 54,8%.
P(E) - это вероятность туч самих по себе. Не каждый раз же после туч начинается дождь. Дней с тучами в Питере примерно 330 из 365. Значит, P(E) = 330365 ~ 90,4%.
А как часто дождь идёт с тучами на небе? Да почти всегда. P(E | H) ~ 99%, исключение на грибной дождь 1%.
Подставим в формулу:
P(H | E) = 54,8% · 99%90,4% ≈ 60%
То есть тучка в Питере предвещает дождь лишь в ~60% случаев. Логично? Тучи почти всегда, поэтому само их наличие - слабый индикатор. Сам факт тучки лишь чуток повысил вероятность дождя до 60% от среднего 55%.
Давай сравним с Кипром. Там солнце до ужаса постоянно: дней с тучками около 50 из 365, то есть P(E) = 50365 ~ 13,7%. А дождь бывает 45 дней в год, P(H) = 45365 ~ 12,3%.
Итого для Кипра:
P(H | E) = 12,3% · 99%13,7% ≈ 89%
Получается, тучи на Кипре с вероятностью ~89% предвещают дождь. Наличие тучки повысило вероятность дождя в 7 раз по сравнению со средней 12%!
Питер
тучи 330 дней, из них с дождём 198
198330 = 60%
Кипр
тучи 50 дней, из них с дождём 44,5
44,550 = 89%
Живущим на Кипре
Передаю привет! Прожил пару месяцев там, тучу не видел ни разу. Было жарко и дорого, но водичка у вас красивая, конечно. Но речь не об этом, и даже не Посполитая.
По некоторым источникам, пасмурных дней меньше, чем дождливых, потому что пасмурный день определяют как день, когда туч много и долго. Такое случается реже, чем дождь от слабых облаков, поэтому взял +- разумные величины «наличия тучек», а не «пасмурных дней» для иллюстрации мысли.
Итого, если вы увидели тучи на Кипре, бегите за зонтиком. Тучка в Питере ничего особого не значит: дождь и так будет с вероятностью 55%, а с тучами 60%.
Выводы
Чтобы просто получить формулу Байеса, нарисуй две окружности. Выпиши формулу пересечения с левой и правой стороны. Формула уже будет готова: перетасуй её для выбора нужной величины. Обычно это P(H | E).
Доп. материалы
- Как перестать бояться теоремы Байеса · с калькулятором спокойствия
- Формула Байеса в реальной жизни · Борис Трушин
- Лайфхак по теореме Байеса · Аналитический джаз
- Bayes theorem, the geometry of changing beliefs · 3Blue1Brown
Спасибо, что прочли!
Если нашли ошибку или хотите оставить комментарий, пишите мне в телеграм: t.me/art_oshk.