Ключ к спокойствию: как перестать тревожиться с помощью математики Пособие для самоваров

1. «Зайди ко мне в кабинет, надо срочно поговорить»

Обычный вторник, необычное сообщение от начальника:

НачальникЗайди ко мне в кабинет, надо срочно поговорить

Первая мысль?

Меня уволят.

Это тревожка тревожится. Сюжет ей понятен: тебя зовут в кабинет, закрывают дверь, увольняют, отбирают одежду, ключи, бьют и выкидывают на улицу. Эмоционально ожидаешь увольнение с 95%!!! Но ты же разумный человек, поэтому начинаешь думать.

Логика-то в этом есть: увольнения зачастую начинаются с подобных сообщений. Допустим, в 8 из 10 увольнений всё начинается ровно так.

Делаем вывод: значит, 80% что уволят! 😱

Так вот этот вывод хрень полная.

Он не учитывает кое-что важное, и это кое-что успокаивает и эмоционально, и математически. Го по простым шагам посмотрим, чё не так.

Шаг 1. Если увольняют, то обычно так

Дым не разжигает огонь.

Только что мы посчитали: если человека увольняют, то обычно его вот так и зовут. Пусть в 8 случаях из 10, то есть в 80%.

Но это ЕСЛИ УВОЛЬНЯЮТ, ТО ЗОВУТ ТАК. А переживаем мы об обратном: если ТАК ЗОВУТ, ЗНАЧИТ увольняют. Дым и огонь нельзя поменять местами. ?

Почти каждое увольнение начинается с вызова в кабинет - да. Но отсюда ничего не следует о том, чем обычно кончаются вызовы в кабинет.

Ошибкашанс увольнения = «если увольняют, то так» = 80%

Первое «=» здесь на самом деле «≠»: доля увольнений, которые начались с вызова, и доля вызовов, которые кончились увольнением, - разные числа.

Шаг 2. А бывало наоборот?

Есть дыма без огня!

Было ли такое, что вас звали так же, а не уволили? Подписали справку, согласовали отпуск и вернулись к делам.

Допустим, вас уже раз двадцать звали в кабинет. Примерно половина вызовов звучала так же тревожно: «зайди, надо срочно поговорить». Ни разу не уволили. ?

Значит, если не увольняют, точно так же зовут в 50% случаев. Учтём этот факт: какая доля от всех «тревожных» вызовов всё-таки про увольнение?

шанс увольнения = 80 / (80 + 50) = 61,5%уже лучше, но ещё не всё

Тревога уже немного спала, и посчитала это ваша же интуиция: такой вызов почти так же часто бывает и без увольнения. Чем больше звали без последствий, тем меньше вызов связан с увольнением.

Если бы так (с тревожным сообщением) звали одинаково часто и с увольнением, и без, вызов не значил бы ничего: 80 / (80 + 80) = 50 на 50.

Но что-то тут не так, не может же каждый заход в кабинет быть монеткой орёл-решка на увольнение? Что мы ещё не учли?

Шаг 3. Как часто увольняют вообще?

А пожары вообще часто бывают?

Прошлая формула считает, будто половина вызовов в кабинет кончается увольнением: как её подлатать?

Каждый день в этот кабинет заходят десятки людей, и почти все возвращаются за свой стол. Допустим, увольнением кончается 1 вызов из 100 (в реальности намнооого реже).

Представим 100 вызовов в кабинет:

• 1 вызов кончается увольнением. С вероятностью 80% он начался с тревожного «надо срочно поговорить»: 80% × 1 = 0,8 тревожного вызова.
• 99 вызовов кончаются ничем. Но и из них так же тревожно звучит половина: 50% × 99 = 49,5 вызова.
• Всего тревожных вызовов 0,8 + 49,5 = 50,3. Вас позвали именно так, значит, вы один из этих 50,3. И только 0,8 из них - про увольнение.

Это и есть вся формула: тревожные вызовы с увольнением делим на все тревожные вызовы.

шанс увольнения = 80% × 1 / (80% × 1 + 50% × 99)
= 0,8 / (0,8 + 49,5) = 1,6%

Было 95% эмоционально и 80% «рационально». Стало меньше двух процентов. Это те же ваши ощущения и наблюдения, просто сложенные честно. Легче?

Точные числа знать не обязательно. Суть в поправке ожиданий: каждый из трёх вопросов сдвигает оценку, и третий обычно сдвигает сильнее всех.

2. Калькулятор спокойствия

Посчитай свои ощущения

3. Выводы

Когда что-то пугает, задайте три вопроса:

1. Не перевернул ли я фразу? «Если увольняют, то зовут» не значит «если зовут, то увольняют».
2. А бывает так же без беды? Если да и почти так же часто, сам знак почти ничего не значит.
3. Как часто беда случается вообще? Редкое событие остаётся редким. Не всегда пугающий знак это меняет, особенно если вы привыкли тревожиться.

Работает не только с начальником: страшный анализ, шорох ночью в палатке, «нам надо поговорить» от близкого человека.

4. Три шага - три когнитивных искажения

Каждый шаг калькулятора чинит одну конкретную ошибку мышления. У них даже есть научные названия.

5. Это и есть теорема Байеса

Три шага выше - это три числа, из которых она собирается:

1. «Если увольняют, то так» - P(позвали | уволят). Шаг 1, по-научному правдоподобие (likelihood).
2. «А бывало наоборот?» - P(позвали | не уволят). Шаг 2: как часто то же самое бывает без беды, правдоподобие альтернативы (likelihood under the alternative; в медицинских тестах - false positive rate).
3. «Как часто вообще?» - P(уволят). Шаг 3, априорная вероятность (prior): что вы знали до сообщения.

А апостериорная вероятность (posterior) - это ответ: P(уволят | позвали), оценка после сообщения. Её и показывает большое число в калькуляторе.

Шанс увольнения - это доля «увольнительных» вызовов среди всех, которые звучат так же:

P(уволят | позвали) =
  P(позвали | уволят) · P(уволят)
  / ( P(позвали | уволят) · P(уволят)
    + P(позвали | не уволят) · P(не уволят) )

Знаменатель - все способы, которыми вас могли так позвать (evidence). Обычно его коротко пишут как P(позвали), и получается каноничная запись:

P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)

Доп. материалы

• Как просто вывести формулу Байеса · две окружности и тучи над Питером
• Покер: сколько можно ставить? · ещё один интерактивный разбор
• Bayes theorem, the geometry of changing beliefs · 3Blue1Brown