Покер: сколько можно ставить?
pot odds · эквити · порог ставки
1. Стоит ли делать ставку в покере?
Соперник поставил, в банке лежат деньги, вам нужно доплатить. Платить или сбросить карты? Двигайте ползунки.
Шанс победы - это кусок банка, который в среднем ваш за раздачу: В одной раздаче вы забираете весь банк или ничего, но на длинной дистанции выходит именно столько.
При победе вы забираете банк и возвращаете свою ставку, поэтому теряете её только когда проигрываете. То есть в среднем вы платите
= мон. Яркие квадратики - то, что в среднем забираете (зелёные) или теряете (красные). Бледные - остаток банка или ставки.
Как считается:
EV = p · банк − (1 − p) · ставка
Отсюда точка безубыточности:
p > ставка / (банк + ставка)
Упрощение: это последняя ставка, дальше никто не доплачивает. В живой игре на результат ещё влияют будущие ставки на следующих улицах (implied odds) и шанс, что соперник сбросит карты.
2. Rule of thumb: потолок ставки
Банк и шанс победы известны, нужно понять, больше какой ставки платить не стоит. Ожидание прибыли зависит от ставки x по прямой:
EV(x) = p · банк − (1 − p) · x
Вместе с осями она отсекает треугольник. Всё, что внутри него, - выгодные ставки. Там, где прямая пересекает ноль, ставка становится убыточной.
- наклон
- шансы против
- потолок
Подвигайте банк: треугольник не меняется, меняются только подписи осей. Форму задаёт один шанс победы.
- Наклон = шанс проигрыша. Каждая монета ставки отнимает 1 − p монеты ожидания: это жёлтая ступенька. Серый пунктир - наклон 45°, то есть −1. При малом шансе прямая почти лежит на пунктире, при 50% она вдвое положе, при 75% вчетверо.
- Потолок = банк ÷ шансы против. Шансы против - во сколько раз проигрыш вероятнее победы.
20% 4 : 1 банк / 4 25% 3 : 1 банк / 3 33% 2 : 1 банк / 2 50% 1 : 1 весь банк - Пунктир - это ловушка. Он пересекает ноль в p · банк: так выглядит ответ «ставка меньше моего куска банка». Настоящая прямая положе и уходит дальше, в 1 / (1 − p) раз. При 20% это +25%, при 50% уже вдвое.
Раз банк только масштаб, его можно сократить. Потолок ставки в долях банка зависит от одного шанса победы:
порог / банк = p / (1 − p)
Шанс выше 50%: выгодно ставить больше банка
Меньше можно: любая ставка ниже порога в плюс, просто прибыль скромнее. Больше нет: выше порога колл в среднем теряет, и чем дальше, тем больше. Исключение - fold equity и блеф: если ваша ставка может заставить соперника сбросить карты, вы иногда забираете банк без вскрытия, и порог выше. Здесь этого нет: считаем, что вы платите и идёте до вскрытия.
Жёлтая точка - текущий шанс. Под синей кривой ставки в плюс, над ней в минус. Пунктир - ловушка «ставка = p · банк»: при любом шансе он ниже кривой.
Таблица потолков
| Шанс | Против | Потолок | Когда бывает |
|---|
Потолок - в процентах от банка. Дро на одну карту посчитаны по 46 неизвестным картам (тёрн → ривер), на две - с флопа до ривера. «Монетка» и пара против пары - округлённые шансы до флопа.
Выводы
Делите вероятность победы на вероятность поражения: p / (1 − p). Ставьте меньшую долю банка, чем получился коэффициент.
Шанс 20%: 0,2 / 0,8 = 0,25, значит, ставка меньше четверти банка в плюс. Шанс 50%: 0,5 / 0,5 = 1, в плюс всё, что меньше банка. Ровно на пороге - в ноль, выше - в минус.
Это упрощённая базовая модель для новичков: вы платите последнюю ставку и идёте до вскрытия, дальше никто не ставит и никто не сбрасывает карты. В настоящей игре соперник может сбросить карты под вашей ставкой, и это добавляет ей ценности. Для более глубокой игры изучите fold equity.
И ещё одно упрощение: модель считает, что вы последний, кто ходит в этом круге ставок. Если после вас ещё кто-то ходит, соперники могут заколлировать и увеличить банк, тогда ваша ставка выгоднее, чем по формуле. А могут зарейзить: вырастут и банк, и ваши затраты, потому что придётся доплачивать. Как это учитывать, здесь пока не разбираем. Для более глубокого погружения изучите implied odds: сколько вы доберёте на следующих улицах, если соберёте руку. И их обратную сторону, reverse implied odds: сколько потеряете, если соберёте сильную, но не самую сильную руку.
Мини-квиз
Проверьте себя без ползунков. Ответ - число, можно дробное. Если ответ не круглый, засчитывается всё, что отличается от точного меньше чем на 0,1.
Для нёрдов-математиков
Сразу вывод: ряд Тейлора не нужен, хотя прикольно. Он неплохо аппроксимирует порог примерно до 20% шанса победы, а дальше проще разделить p на 1 − p.
Если всё же хочется без деления: потолок ≈ (p + p²) × банк. При шансе 20%: 0,2 + 0,04 = 0,24 банка вместо точных 0,25. Приближение всегда чуть меньше настоящего порога, так что лишнего вы не поставите.
Потолок в долях банка раскладывается в ряд Тейлора в нуле. Это обычная геометрическая прогрессия, она сходится при любом p < 1:
p / (1 − p) = p + p² + p³ + p⁴ + …
Если оборвать ряд после n членов, получится ровно точное значение × (1 − pⁿ). Отсюда два вывода:
- ошибка всегда вниз: приближение никогда не советует ставку выше порога;
- относительная ошибка ровно pⁿ.
| Ошибка | 10% | 20% | 30% | 50% |
|---|---|---|---|---|
| p | 10% | 20% | 30% | 50% |
| p + p² | 1% | 4% | 9% | 25% |
| p + p² + p³ | 0,1% | 0,8% | 2,7% | 12,5% |
Есть ли смысл считать дальше? Сравните с тем, насколько точно вы знаете сам шанс. Если ошиблись в нём всего на 2 процентных пункта, потолок «поплывёт» на 0,02 / (p · (1 − p)): при 20% это 12,5%, при 30% около 9,5%.
При 20% ошибка p + p² (4%) втрое меньше неточности самого шанса (12,5%), так что точнее считать бессмысленно. При 30% они уже сравнялись (9% и 9,5%), а после 50% ряд сходится медленно. Член p³ спасает немного, а больше p³ смысла нет совсем: проще честно поделить p на 1 − p.
Голубая кривая - точный потолок, жёлтая - приближение, жёлтая полоса между ними - ошибка.
Доп. материалы
- Вероятность в покере · pekarstas.com
Спасибо, что прочли!
Если нашли ошибку или хотите оставить комментарий, пишите мне в телеграм: t.me/art_oshk.
